Low Entropy

Output Order

ReID任务中的CMC和mAP

王不对 / 2019-02-23


ReID

ReID指Re-identification,常翻译为重识别。ReID任务本身分类很多,本文只讨论基于图片的ReID任务中single-gallery-shot这一最简单的情况。

重识别任务可以描述如下:

给定一个Gallery集合\(G\),包含有\(N\)张图片,分属\(M\)个ID(identity)。给定一张未知ID的图片做query(或者叫probe), 计算出下式的结果:\(max(Similarity(query, g_i)), i\in1,2,3,...,N, g_i\in G\)。得到i之后,图片\(g_i\)对应的ID就是query的ID。大部分ReID相关的研究,都是在研究Similarity()这个函数,使得这个函数在同ID时返回值高,不同ID时返回值低

下图就是一次典型的重识别任务:re-id

为了更好地理解,我在这篇文中介绍一个新的重识别任务:水果emoji重识别

我们现有一个水果emoji的数据集\(G\):[🍍🍎🍎🍏🍍🍏🍎🍏🍍🍍🍍🍏🍎🍏🍍],假定这个数据集中,即使是相同的emoji,图片也有细小的差别。 数据集一共包含\(N=15\)张图片,共有\(M=3\)种ID。任意给定一组query: [🍎,🍏],从数据集\(G\)中找到和每个query最相近的5张图片(为了保证准确率,我们都是返回一组最相近的图片,而不是如前文所述的单独一张图片)。

我们现在有两个评价emoji之间相似程度的函数Similarity1()Similarity2()。 对于query🍎,Similarity1()得到[🍍🍎🍎🍎🍏],Similarity2()得到[🍎🍍🍎🍎🍏]。 对于query🍏,Similarity1()得到[🍏🍎🍍🍏🍏],Similarity2()得到[🍎🍏🍏🍏🍍]。 得到的结果都按与query的相似度从左至右排列。那么Similarity1()Similarity2()哪个得到的结果更好呢?

或者说:我们应该怎么度量Similarity()函数的性能?答案就是CMCmAP

CMC

CMC是Cumulative Matching Characteristics的缩写,我个人把它翻译为累计匹配特性。ReID模型的好坏可以通过CMC曲线来评价。 为了计算CMC曲线,首先要把每次查询的结果按相似程度排序。接着,引入一个概念: \(topK\)准确度: \(AccK\),其计算公式如下: \[AccK= \begin{cases} 1& \text{前K个结果中有同ID的结果}\\ 0& \text{前K个结果中没有同ID的结果} \end{cases} \] 这里的K是一个从1开始增加的变量。显然,\(AccK\)形同单位阶跃函数。假设在查询得到的结果中,与query同ID的结果第一次出现时的排名为\(F\),那么显然,\(AccK\)\(K=F\)时,值由0变为1。 CMC曲线的计算方法就是,把每个query的\(AccK\)曲线相加,再除以query的总数,即平均\(AccK\)曲线。

回到我们的水果emoji重识别任务。 分别计算两个query的AccK曲线如下:

Similarity    1          2
query🍎: 0 1 1 1 1 | 1 1 1 1 1
query🍏: 1 1 1 1 1 | 0 1 1 1 1

再平均各个query的AccK曲线,由此我们得到这两种相似度函数的CMC曲线都是[0.5 1 1 1 1] 由于query只有两个,所以得到的CMC的值有些简单。当query数足够大时,CMC曲线就会变成下图这样: CMC曲线 由于AccK曲线是一个单位阶跃函数,CMC曲线必定是一个单调递增的曲线。曲线上某个点如(R5, 0.96)就表示正确结果在前返回所有结果中排名前5的准确率能达到5%。 实际论文中,常取CMC曲线上的某几个点之间对比,比如常出现的Rank1,Rank5,就分别是CMC曲线上,K=1,5时的值。

mAP

mAP是mean Average Precision的缩写。mAP涉及到的前置概念比较多:mAP是每个query的AP(Average Precision)的平均值,而AP又指Precision(准确率,又称查准率)的平均值。我们从头开始讲起。

对于ReID任务,我们经常关心两个问题:

  1. 查询得到的结果中,有多少比例是同一ID的?
  2. 同一ID的图片中,有多少比例被检索出来了?

这两个问题分别对应查准率(precision)查全率(recall),亦称作准确率召回率。因为准确率这个称呼在别的领域有其它意义,为了防止误解,我还是喜欢用查准率查全率的说法。

查准率和查全率

查准率就是和query同一ID的图片在查询结果中的占比。计算公式如下: \[ precision = \frac{\mid\{同ID图片\}\cap\{查询结果\}\mid}{\mid\{查询结果\}\mid} \] 查准率可以同时考虑所有的获取到的结果,也可以单独给定一个特定的值K,只考虑返回结果中排名前K的查询结果,在这种情况下,查准率又可以称为前K查准率,记作P@K。

查全率就是和query同一ID的图片出现在查询结果中的数量占总数的比例。计算公式如下: \[ recall = \frac{\mid\{同ID图片\}\cap\{查询结果\}\mid}{\mid\{同ID图片\}\mid} \]

查准率和查全率看上去都很有意义,但我们能直接用它俩来评判ReID模型的性能了吗?当然不行,由于查准率和查全率都是通过比例来计算,完全忽略了返回的结果是有排序的!当查询🍏时返回结果🍏🍏🍏🍎🍍和🍎🍍🍏🍏🍏当然是不一样的,但其查准率和查全率却是一样的。返回结果的顺序被忽略了。

值得注意的是,查准率和查全率是一个相互矛盾的度量,比如为了增加查全率,我们可以通过增加查询结果的数量来实现,当查询结果数量等于数据集大小时,查全率一定等于1,因为这时所有图片都被查询得到了。但此时查准率就成了最小值。所以比较模型的性能不是那么简单的事情。

P-R曲线图

那怎么比呢?肉眼比对时,我们常从结果的第一个开始,一个一个比对。借鉴这种思路,我们可以逐渐增加查询结果的数量,从第一个开始,一直到系统给出的查询结果的最后一个,把中间每个点对应的查准率和查全率绘制到图上,得到类似下面的结果: PR曲线

P-R图直观地显示出了ReID模型的查全率和查准率,显而易见,如果一个模型的P-R曲线包住了另一个模型的P-R曲线,这个模型的性能就好于另一个模型。

Average Precision

显然,PR曲线与坐标轴围起来图形的面积一定程度上反应了ReID模型的性能,我们把这个面积叫做Average Precision。这个面积怎么求?由积分知识可得: \[AveP = \int_{0}^1p(r)dr\] 可惜,我们得到的是曲线上一个个点,得不到\(p(r)\)的准确公式,没法用上面的公式计算。 但是,这个积分可以视作多个长方形条的面积之和,离散化后得到如下公式: \[AveP = \sum_{k=1}^{n}P(k)\Delta r(k)\] 公式中的\(P(k)\)特指我们上文提到过的前K查准率,\(\Delta r(k) = r(k)-r(k-1)\)。需要注意的是,前k-1个查询结果和前k个查询结果中的同ID结果数量可能一样,所以\(\Delta r(k)\)可能为0。用公式写出来就是:假设数据集中有\(N\)个同ID查询结果,则有 \[\Delta r(k)= \begin{cases} \frac{1}{N}& ID(RESULT_k) = ID(query)\\ 0& ID(query) \ne ID(RESULT_k) \end{cases} \] 所以如果令集合\(\Omega\)为和query同ID的第k个查询结果的集合,那么上式可以接着改写为 \[AveP = \sum_{i=1}^{n}P(i)\Delta r(i), i\in\Omega\] 即只考虑查询结果中同ID结果的查准率和查全率。网上搜mAP相关教程时经常出现的图片(来自yongyuan.name)用的就是这个公式。 mAP 为了计算AP更精确,我们可以用梯形面积公式替换矩形面积: \[AveP = \sum_{i=1}^{n}\frac{P(i)+P(i-1)}{2}\Delta r(i), i\in\Omega, P(0)=P(1)\]

这里的\(P(0)=P(1)\)是什么意思呢?P(1)指的是第1个结果的查准率,P(0)即第0个结果的查准率本来是无意义的,但是,为了预防\(RESULT_1\)与查询同ID时,公式中出现无意义的\(P(0)\),我们补一个\(P(0)=P(1)\)的定义。

注意\(\text{i-1}\in\Omega\)不一定成立,所以这里的\(P(i-1)\)不是\(\Omega\)集合中的上一个点的查准率,而是第i-1个查询结果对应的点的查准率。

详细分析附在了文章最后。

这两个公式都可以计算AP,后一个公式精确度更高一些。

最后,平均一下每个query的AP值就得到了mAP。 \[mAP = \frac{\sum_{i=1}^{N_q}AveP_i}{N_q}\]

再回到我提出的水果emoji重识别任务,我们来计算下两种方法的mAP:

我们现在有两个评价emoji之间相似程度的函数Similarity1()Similarity2()。 对于query🍎,Similarity1()得到[🍍🍎🍎🍎🍏],Similarity2()得到[🍎🍍🍎🍎🍏]。 对于query🍏,Similarity1()得到[🍏🍎🍍🍏🍏],Similarity2()得到[🍎🍏🍏🍏🍍]。

拿计算Similarity1()在query为🍎举例:

match1 i=1 (P(0), P(1)) = (1/2, 1/2)
match2 i=2 (P(1), P(2)) = (1/2, 2/3)
match3 i=3 (P(2), P(3)) = (2/3, 3/4)

所以\(AP=\frac{0.5+0.5}{2}*\frac{1}{3}+\frac{0.5+0.66}{2}*\frac{1}{3}+\frac{0.66+0.75}{2}*\frac{1}{3}=0.597222\) query为🍏时,\(AP=0.766666\)所以\(mAP=0.682\)

同理可以计算Similarity2()的mAP为0.722,所以我们最终得到,Similarity2()优于Similarity1()

代码实现

相信你在理解了mAP和CMC之后,再用代码实现它俩就变得很轻松了。我最近一直在做行人重识别的项目,可以拿我一直在用的evaluate.py中的evaluate_with_index()函数做一个参考。

更正:

写完这篇文章以后我就准备写代码实现这两个代码,参考一直用着的一份baseline代码Person_reID_baseline_pytorch时以为其计算方法和我上面的公式不一样,我一下子没理解,还给这个repo发了一个issue

@layumi的解释我最后才看懂,发现是我理解错误了。 上面的公式 \(AveP = \sum_{k=1}^{n}P(k)\Delta r(k) = \sum_{i=1}^{n}P(i)\Delta r(i), i\in\Omega\)是成立的。但是,当为了精确使用梯形面积代替长方形面积时,我用了下面的公式: \[AveP = \sum_{i=1}^{n}\frac{P(i)+P(i-1)}{2}\Delta r(i), i\in\Omega, P(0)=P(1)\] 这种公式中的i是什么容易引起误会,我就一下子搞错了,错误地指责@layumi写错了代码。这里的i不是遍历用的下标1,2,3,4…而是\(\Omega\)集合中的点2,5,6,7(随便举得例子)。所以,\(i-1\in\Omega\)很可能不成立,我自己错误地把\(P(i-1)\)当作了\(\Omega\)中前一个点对应的查准率。

所以,我自己搞错了自己写的公式,抑郁之情难以言表。